Cesare Rossetti – Esercizi di metodi matematici (2002)

Questa raccolta nasce con l’intento di fornire uno spettro, sufficientemente ampio, di esercizi sui vari argomenti che sonostati presentati nell’insegnamento di metodi matematici da me tenuto per vari anni all’università di Torino, per
il corso di laurea in fisica, denominato in origine “Metodi Matematici per la Fisica” e poi trasformato in “Metodi Matematici della Fisica”. In realtà, ognuno di questi titoli è, almeno parzialmente, mistificante, perché non esistono metodi nia.tematici dedicati specificatamente allafisica, disciplina. che mira. alla descrizione del mondo ed il cui linguaggio naturale è la matematica stessa; si tratta cli un campo di indagine talmente vasto e impegnativo che necessita dell’ausilio di ogni conoscenza ma.tematica nota e che ha dato sovente origine allo studio di nuove branchedella matematica, al recupero ed approfondimento di argomenti negletti o considerati marginali e alla nascita di nuovi formalismi.
Tenuto presente ciò, dovrebbe essere chiaro che qualsiasi corso che presenti ai giovani fisici degli argomenti di matematica non elementare è necessariamente molto lacunoso e si limita a segnala.re alcuni dei metodi matematici utilizzati
tradizionalmente per descrivere ed interpretare alcuni dei fenomeni fisici più noti.
Da.I titolo cli questa raccolta.cli esercizi è stato voluta.mente omesso il riferimento a.Ila fisica, ritenendosi meno impegnativo, e più vicino a.I contenuto rea.le, quello adottatodi Esercizi di Metodi lvfaternatici, intendendosi, con quel generico ‘:di metodi”, che tratta.si di “alcuni metodi” matematici (che vengono utilizza.ti nello studio della fisica, senza essere per questocli suaspecifica pertinenza), mentre molti altri metodi matematici, anche di grandissima importanza, sono stati ignorati.
La scelta della tipologia. degli esercizi è stata facile, essendo conseguenza na.turaie di quella, invece rea.Imente difficile e sofferta, effettuata per gli a.rgomenti del corso cui gli esercizi fanno riferimento. Questi riguardano lo studio
delle funzioni analitiche, il calcolo di residui e quello di integrali cli vario genere, gli spazi vettoriali e il calcolo ma.tricia.le, gli sviluppi in serie cli funzioni ortogonali, con particola.re attenzione ai polinomi ortogonali e alle loro proprietà,
le trasformate ed a.ntitra.sformate cli Fourier e di La.pia.ce, le distribuzioni e, in particola.re, la. funzione delta di Dirne, le equazioni differenzia.li (lineari eVI omogenee del secondo ordine) e le loro soluzioni, nonché alcune noz10n1 sulle
funzioni speciali.
Lo studio degli esercizi è purtroppo sovente una pratica noiosa, perché la risoluzione di un problema, per brillante e semplice che ne sia l’impostazione, comporta quasi inevitabilmente l’esecuzione di calcoli cli ro’uline che possono
risultare anche assai tediosi. Per ovviare in parte alla noia, almeno a quella dovuta alla ripetitività, gli esercizi non sono raggruppati per argomenti e il loro ordine non segue alcun criterio logico, se non quello di separazione usuale cli
esercizi sugli stessi argomenti, argomentichesono immediatamente identificabili dalle sigle, appresso riportate, che compaiono nei titoli.
L’analisi di ogni esercizio viene effettuata con notevole dettaglio; sovente vengono presenta.te più stra.de per arriva.re al risultato voluto ed ampio spazio è dedicato ai possibili controlli e verifiche delle relazioni ottenute. Le nozioni,
i teoremi e i metodi richiamati nello svolgimento dei problemi, fanno parte del bagaglio comune di ogni testo di metodi matematici e di analisi superiore, e quindi, in particola.re, di quello da me scritto*. Riferimento a tale testo fanno
anche le notazioni e convenzioni utilizza.te, che sono, peraltro, pratica.mente standard e seguono quelle adottate dal Bateman IVIanuscript Project**.
Cesare Rossetti